ফাংশন অব বীজগণিত

ফাংশন অব বীজগণিত

ফাংশন:- দুই বা ততোধিক চলকের মধ্যে বিদ্যমান সম্পর্ক প্রকাশের গাণিতিক পদ্ধতিকেই আপেক্ষক বা ফাংশন বলা হয়। অর্থাৎ দুইটি চলক x ও y এমন ভাবে সম্পর্কিত হয় যে x এর প্রতিটি ডোমেনের জন্য y এর একটি নির্দিষ্ট মান নির্ণয় করা যায়। তবে y কে x এর ফাংশন বলা হয়। ফাংশনকে সাধারণত y=⨍(x), y=∅(x), y=φ(x) ইত্যাদি প্রতীক দ্বারা প্রকাশ করা হয়।
যেমন: (y=3x+5) → x এর একটি ফাংশন। এখানে x এর প্রত্যেকটি বাস্তব মানের জন্য y এর একটি নির্দিষ্ট মান পাওয়া যায়। সুতরাং, x কে স্বাধীন চলক এবং y কে অধীন চলক বলা হয়।

ফাংশনকে অনেক সময় ম্যাপিং বা ট্রান্সফরমেশনও বলা হয়।

ডোমেন: যদি A হতে B সেটে বর্ণিত একটি ফাংশন ⨍ হয় তবে A সেটকে ফাংশন ⨍ এর ডোমেন বলা হয়। ডোমেন কে সাধারণত D⨍ দ্বারা প্রকাশ করা হয়।

রেঞ্জ বা বিস্তার: যদি A হতে B সেটে বর্ণিত একটি ফাংশন ⨍ হয় তবে B সেটের যে সকল উপাদান a ∈ A এর প্রতিচ্ছবি হিসাবে পাওয়া যায় তাকে ⨍ এর রেঞ্জ বা বিস্তার বলা হয়। রেঞ্জকে R⨍ দ্বারা প্রকাশ করা হয়।

ফাংশনের প্রকারভেদ:

১। একমান বিশিষ্ট ফাংশন (Single Valued Function): যদি স্বাধীন চলক x এর প্রত্যেক মানের জন্য অধীন চলক y এর একটি মাত্র মান পাওয়া যায় তবে এরূপ ফাংশনকে একমান বিশিষ্ট ফাংশন বলা হয়। যেমন: y=3x+5, y=e^x2+5 প্রত্যেকে x এর একমান বিশিষ্ট ফাংশন। কারণ এখানে এর x প্রত্যেক বাস্তব মানের জন্য y এর কেবল একটি মান পাওয়া যায়।

২। বহুমান বিশিষ্ট ফাংশন (Many Valued Function): যদি স্বাধীন চলক x এর প্রত্যেক মানের জন্য অধীন চলক y এর একাধিক মান পাওয়া যায় তবে এরূপ ফাংশনকে বহুমান বিশিষ্ট ফাংশন বলা হয়। যেমন: y²=3x²+4, y = Sin^φx ইত্যাদি x এর বহুমান বিশিষ্ট ফাংশন কারণ এখানে x এর প্রত্যেক বাস্তব মানের জন্য y এর একের অধিক মান পাওয়া যায়।

৩। ব্যক্ত ফাংশন (Explicit Functin): যদি স্বাধীন চলক y এর মানের শুধু স্বাধীন চলক x এর মান হিসাবে প্রকাশ করা যায় অর্থাৎ, y=⨍(x) আকারে প্রকাশ করা যায়, তবে একে ব্যক্ত ফাংশন বলা হয়। যেমন: y=x+2, y=x²+2x+3 ইত্যাদি ব্যক্ত ফাংশন।

৪। অব্যক্ত ফাংশন (Implicit Function): যদি কোন ফাংশনকে স্বাধীন চলক রাশির মাধ্যমে স্পষ্টভাবে প্রকাশ করা না যায় তবে তাকে অব্যক্ত ফাংশন বলে। একে সাধারণত ⨍(x,y)=0, g(x,y)=0 ইত্যাদি প্রতীক দ্বারা প্রকাশ করা হয়। যেমন: ⨍(x,y)=x²+xy+2y²=0 একটি অব্যক্ত ফাংশন।

৫। এক-এক ফাংশন (One-one Function): ⨍: A → B ফাংশনকে এক-এক ফাংশন বলা হয় যদি A সেটের ভিন্ন ভিন্ন উপাদানের জন্য B সেটের ভিন্ন ভিন্ন প্রতিবিম্ব পাওয়া যায়।

উদাহরণ:

১। ⨍(x)=x³ এক-এক ফাংশন। কারণ x এর প্রত্যেক বাস্তব মানের জন্য x³ এর মান পাওয়া যায়। আবার বিভিন্ন সংখ্যার ঘনফলও বিভিন্ন হবে। কিন্তু ⨍(x)=x² এক-এক ফাংশন নয়। কারণ, ⨍(x)=4, ⨍(-2)=4 অর্থাৎ, 2 এবং (-2) এর একই উত্তর হচ্ছে 4.

<

p style=”padding-left: 40px;”>২।