বাস্তব সংখ্যার উপসেট
(i) স্বাভাবিক সংখ্যা (Natural Number) : ধনাত্মক পূর্ণ সংখ্যাই স্বাভাবিক সংখ্যা। অর্থাৎ 1,2,3,4,….ইত্যাদি সংখ্যাগুলোকে স্বাভাবিক সংখ্যা বলা হয়। স্বাভাবিক সংখ্যার সেট কে N দ্বারা প্রকাশ করা হয়।
সুতরাং N={1,2,3,4,…}অথবা, N={x|xস্বাভাবিক সংখ্যা },স্বাভাবিক সংখ্যা সেটের ক্ষুদ্রতম সদস্য 1 কোন বৃহত্তম সংখ্যা নেই। গণনা ছাড়াও স্বাভাবিক সংখ্যাগুলোকে পরিমাণও পরিচিতির জন্য ব্যবহার করা হয়। যেমন 5 কেজি আটা 2 কেজি মাছ। দুই বা ততোধিক স্বাভাবিক সংখ্যার যোগফল গুনফল সর্বদা স্বাভাবিক সংখ্যা হয়। কিন্তু বিয়োগফল সর্বদা স্বাভাবিক সংখ্যা নাও হতে পারে।
স্বাভাবিক সংখ্যাকে দুই ভাগে ভাগ করা যায়। যথা-
- মৌলিক সংখ্যা ও
- যৌগিক সংখ্যা
স্বাভাবিক সংখ্যার বৈশিষ্ট্য/ধর্মাবলী (Characteristics /Properties of Natural Number):
(ক)স্বাভাবিক সংখ্যা সর্বদাই ধনাত্মক পূর্ণ সংখ্যা।
(খ)স্বাভাবিক সংখ্যার সর্বপ্রথম সংখ্যা অথবা ক্ষুদ্রতম সদস্য 1
(গ)স্বাভাবিক সংখ্যার সর্বশেষ সংখ্যা অজানা বা অনির্ণয়।
(ঘ)দুই বা ততোধিক দিক স্বাভাবিক সংখ্যার যোগফল সর্বদাই স্বাভাবিক সংখ্যা।
(ঙ)দুই বা ততোধিক স্বাভাবিক সংখ্যার গুণফল সর্বদাই স্বাভাবিক সংখ্যা।
মৌলিক সংখ্যা (Prime Number): 1 ছাড়া যে সকল স্বাভাবিক সংখ্যা শুধুমাত্র ঐ সংখ্যা এবং 1 দ্বারা বিভাজ্য ঐ সকল সংখ্যাকে মৌলিক সংখ্যা বলে। অর্থাৎ যে সকল সংখ্যার 1 এবং সে সংখ্যা ছাড়া অন্য কোন গুণনীয় নেই সে সকল সংখ্যাকে মৌলিক সংখ্যা বলে। যেমন- 5 গুণনীয়ক শুধুমাত্র 1 এবং 5। অতএব 5 একটি মৌলিক সংখ্যা। উদাহরণস্বরূপ – 2, 3, 5, 7, 11 ইত্যাদি মৌলিক সংখ্যা।
যৌগিক সংখ্যা (Composite Number): যে সমস্ত স্বাভাবিক সংখ্যা 1 এবং ঐ সংখ্যা ছাড়া অন্য কোন সংখ্যা দ্বারা বিভাজ্য অর্থাৎ সে সমস্ত স্বাভাবিক সংখ্যার অনন্ত একটি প্রকৃত উৎপাদক আছে সে সমস্ত সংখ্যাকে যৌগিক সংখ্যা বলে। যেমন- 6 সংখ্যাটি 1 এবং 6 ছাড়াও 2 ও 3 দ্বারা বিভাজ্য। অতএব 6 একটি যৌগিক সংখ্যা। উদাহরণস্বরূপ – 4, 6, 8, 10, 12 ইত্যাদি যৌগিক সংখ্যা।
বীজীয় বা বীজগাণিতিক সংখ্যা (Algebraic Number): যে সকল সংখ্যাকে পূর্ণ সংখ্যা সহগ বিশিষ্ট বহুপদী সমীকরণ মূল বা বীজ হয় সেই সকল সংখ্যাই বীজীয় সংখ্যা। যেমন : x^2 -3=0 বহুপদীয় সমীকরণ √3 একটি বীজীয় সংখ্যা।
অবীজীয় সংখ্যা (Transcendental Number): যে সকল সংখ্যা পূর্ণ সংখ্যা সহগ বিশিষ্ট বহুপদী সমীকরণের মূল বা বীজ নয় তাকে অবীজীয় সংখ্যা বলে। যেমন : π, e ইত্যাদি অবীজীয় সংখ্যা।
১ কেনো মৌলিক সংখ্যা নয় ।
মৌলিক সংখ্যার গুণনীয়ক থাকে দুইটি। যেমন:- ১১ এর স্বাভাবিক গুনীয়ক ১ ও ১১। তাই ১১ মৌলিক সংখ্যা। কিন্তু ১ এর গুণনীয়ক শুধুমাত্র ১ অর্থাৎ ১ এর গুণনীয়ক আছে একটি। তাই এক মৌলিক সংখ্যা নয়।
ছোট মৌলিক সংখ্যা: সবচেয়ে ছোট মৌলিক সংখ্যা হল ২। ২ একটি জোড় সংখ্যা। ২ বাদে আর কোন জোড় মৌলিক সংখ্যা নেই।
বড় মৌলিক সংখ্যা: সবচেয়ে বড় মৌলিক সংখ্যা নির্ণয় করা সম্ভব নয় এটা অসীম। এখন পর্যন্ত আবিষ্কৃত সবচেয়ে বড় মৌলিক সংখ্যাটি হল ২, ৪৮, ৬২, ০৪৮ টি অংক।
সহমৌলিক সংখ্যা: যদি দুই বা ততোধিক সংখ্যার মধ্যে ১ ব্যতীত কোন সাধারণ উৎপাদক না থাকে তবে সংখ্যাগুলোকে সহ মৌলিক সংখ্যা বলে। ৫, ৭ এর মধ্যে ১ ব্যতিত কোন সাধারণ উৎপাদক নেই তাই ৫, ৭ সহমৌলিক সংখ্যা।
কোথায় কতটি মৌলিক সংখ্যা আছে :
- ১ থেকে ১০০ পর্যন্ত মৌলিক সংখ্যা আছে ২৫ টি
- ১০১ থেকে ২০০ পর্যন্ত মৌলিক সংখ্যা আছে ২১ টি
- ২০১ থেকে ৩০০ পর্যন্ত মৌলিক সংখ্যা আছে ১৬ টি
- ৩০১ থেকে ৪০০ পর্যন্ত মৌলিক সংখ্যা আছে ১৬ টি
- ৪০১ থেকে ৫০০ পর্যন্ত মৌলিক সংখ্যা আছে ১৭ টি
- ১ থেকে ৫০০ পর্যন্ত মৌলিক সংখ্যা আছে ৯৫ টি
- ১ থেকে ১০০০ পর্যন্ত মৌলিক সংখ্যা আছে ১৬৮ টি
- ১ থেকে ৫০০০ পর্যন্ত মৌলিক সংখ্যা আছে ৬৬৯ টি
১ থেকে ১০০ পর্যন্ত মৌলিক সংখ্যা | |||||
সীমা | মৌলিক সংখ্যা | মনে রাখার সহজ উপায় | সর্বমোট | ||
১ থেকে ১০ পর্যন্ত | ২, ৩, ৫, ৭ | ১ এর গুণনীয়ক দুটি না হওয়ায় ১ মৌলিক সংখ্যা নয়। ২, ৩, ৫, ৭ কে ভাঙ্গা যায়না জন্য এগুলো মৌলিক সংখ্যা। তবে খেয়াল করলে দেখা যায় ৩ কে ২ দিয়ে যোগ করলে ৫ হয় এবং ৫ কে দুই দিয়ে যোগ করলে ৭ হয়। অর্থাৎ- ৩+২=৫, ৫+২=৭। ২, ৩, ৫, ৭ মৌলিক সংখ্যা। | ৪ টি | ১৫ টি | ২৫ টি |
১১ থেকে ২০ পর্যন্ত | ১১, ১৩, ১৭, ১৯ | ১ থেকে ১০ পর্যন্ত মৌলিক সংখ্যা ৪ টি। আবার ১ থেকে ১০ এর মাঝে ৭ সর্বশেষ মৌলিক সংখ্যা। ৪ টি সংখ্যা কে ৭ দিয়ে যোগ করলে পাওয়া যায় ১১। ১১ থেকে ২০ এর মাঝে প্রথম মৌলিক সংখ্যাও ১১। ১১ থেকে ১৩ এর দূরত্ব ২। অর্থাৎ ১১ এর সাথে ২ যোগ করলে ১৩, আবার ১৩ এর সাথে ২ যোগ করলে হয় ১৫। কিন্তু ১৫ কে ভাঙ্গা যায় ৩ এর সাথে ৫ গুন করলে। তাই ১৫ হবেনা। ১৫ এর সাথে দুই যোগ করলে হয় ১৭। কিন্তু ১৭ এর সাথে দুই যোগ করলে হয় ১৯। অর্থাৎ- ১১+২=১৩, ১৩+২=১৫ (৩*৫=১৫ জন্য হবেনা), ১৫+২=১৭, ১৭+২=১৯। ১১, ১৩, ১৭, ১৯ মৌলিক সংখ্যা। | ৪ টি | ||
২১ থেকে ৩০ পর্যন্ত | ২৩, ২৯ | ১১ থেকে ২০ পর্যন্ত মৌলিক সংখ্যা ৪ টি। আবার ১১ থেকে ২০ এর মাঝে ১৯ সর্বশেষ মৌলিক সংখ্যা। ৪ টি সংখ্যা কে ১৯ দিয়ে যোগ করলে পাওয়া যায় ২৩। ২১ থেকে ৩০ এর মাঝে প্রথম মৌলিক সংখ্যাও ২৩। ২৩ থেকে ২৯ এর দূরত্ব ৬। কেননা ২৩ এর সাথে ২ যোগ করলে হয় ২৫। ২৫ কে আবার ৫ এর সাথে ৫ গুণ করে পাওয়া যায়। মানে ২৫ কে ৫x৫ দিয়ে ভাঙ্গা যায়। তাই এটি মৌলিক সংখ্যা নয়। আবার ২৫ কে ২ দিয়ে যোগ করলে পাওয়া যায় ২৭। ২৭ কেও ৩ এবং ৯ দিয়ে ভাঙ্গা যায়। তাই ২৭ ও হবেনা। ২৭ কে দুই দিয়ে যোগ করলে পাওয়া যায় ২৯। ২৯ কে কোনো সংখ্যা দিয়ে ভাঙ্গা যায়না জন্য ২৯ মৌলিক সংখ্যা। অর্থাৎ- ২৩+২=২৫ (৫*৫=২৫ জন্য হবেনা), ২৫+২=২৭ (৩*৯=২৭ জন্য হবেনা), ২৭+২=২৯। ২৩, ২৯ মৌলিক সংখ্যা। | ২ টি | ||
৩১ থেকে ৪০ পর্যন্ত | ৩১, ৩৭ | ২১ থেকে ৩০ পর্যন্ত মৌলিক সংখ্যা ২ টি। আবার ২১ থেকে ৩০ এর মাঝে ২৯ সর্বশেষ মৌলিক সংখ্যা। ২ টি সংখ্যা কে ২৯ দিয়ে যোগ করলে পাওয়া যায় ৩১। ৩১ থেকে ৪০ এর মাঝে প্রথম মৌলিক সংখ্যাও ৩১। ৩১ থেকে ৩৭ এর দূরত্ব ৬। কেননা ৩১ এর সাথে ২ যোগ করলে হয় ৩৩। কিন্তু ৩৩ কে ১১ ও ৩ দিয়ে ভাঙ্গা যায়। তাহলে ৩৩ মৌলিক সংখ্যা নয়। ৩৩ কে দুই দিয়ে যোগ করলে পাওয়া যায় ৩৫। ৩৫ কে ৫ এবং ৭ দিয়ে ভাঙ্গা যায়। তাই এটিও মৌলিক সংখ্যা নয়। ৩৫ কে দুই দিয়ে যোগ করলে হয় ৩৭। কিন্তু ৩৭ কে কোনো পূর্ণ সংখ্যা দিয়ে ভাঙ্গা যায়না। তাই ৩৭ মৌলিক সংখ্যা। অর্থাৎ- ৩১+২=৩৩ (১১*৩=৩৩ জন্য হবেনা), ৩৩+২=৩৫ (৭*৫=৩৫ জন্য হবেনা), ৩৫+২=৩৭ ৩৭ এর সাথে ২ যোগ করলে ৩৯ হয়। কিন্তু ৩৯ কে ভাঙ্গা যায় ১৩ এবং ৩ দিয়ে। তাই হবেনা। ৩১, ৩৭ মৌলিক সংখ্যা। | ২ টি | ||
৪১ থেকে ৫০ পর্যন্ত | ৪১, ৪৩, ৪৭ | ৩১ থেকে ৪০ পর্যন্ত মৌলিক সংখ্যা ২ টি। ৩১ থেকে ৪০ এর মাঝে ৩৭ সর্বশেষ মৌলিক সংখ্যা। ২ টি সংখ্যা কে ৩৭ দিয়ে যোগ করলে পাওয়া যায় ৩৯। কিন্তু ৩৯ তো ৪১ থেকে ৫০ এর মাঝে পরেনা। কিন্তু ৩৯ কে সর্বমোট সংখ্যা ২ দিয়ে যোগ করলে হয় ৪১। ৪১ থেকে ৫০ এর মাঝে প্রথম মৌলিক সংখ্যাও ৪১। ৪১ এর সাথে ২ যোগ করলে হয় ৪৩। ৪৩ কে ভাঙ্গা যায় না। তাই ৪৩ মৌলিক সংখ্যা। ৪৩ কে দুই দিয়ে যোগ করলে পাওয়া যায় ৪৫। ৪৫ কে ৫ এবং ৭ দিয়ে ভাঙ্গা যায়। তাই এটি মৌলিক সংখ্যা নয়। ৪৫ কে দুই দিয়ে যোগ করলে হয় ৪৭। কিন্তু ৪৭ কে কোনো পূর্ণ সংখ্যা দিয়ে ভাঙ্গা যায়না। তাই ৪৭ মৌলিক সংখ্যা। অর্থাৎ- ৪১+২=৪৩, ৪৩+২=৩৫ (৯*৫=৪৫ জন্য হবেনা), ৪৫+২=৪৭ ৪৭ এর সাথে ২ যোগ করলে ৪৯ হয়। কিন্তু ৪৯ কে ভাঙ্গা যায় ৭ দিয়ে। তাই হবেনা। ৪১, ৪৩, ৪৭ মৌলিক সংখ্যা। | ৩ টি | ||
৫১ থেকে ৬০ পর্যন্ত | ৫৩, ৫৯ | ৫০ থেকে শুরু হয় নতুন একটি ধারা। ৫০ থেকে ৫২ সকল সংখ্যাকেই ভাঙ্গা যায়। কিন্তু ৫৩ কে ভাঙ্গা যায়না। ৫৩ এর সাথে ২ যোগ করলে হয় ৫৫। কিন্তু ৫৫ কে ৫ দিয়ে ভাঙ্গা যায়। তাই হবেনা। ৫৫ কে দুই দিয়ে যোগ করলে হয় ৫৭। ৫৭ কে ১৯ এবং ৩ দিয়ে ভাঙ্গা যায়। তাই হবেনা। ৫৭ কে দুই দিয়ে যোগ করলে পাওয়া যায় ৫৯। ৫৯ কে ভাঙ্গা যায়না জন্য এটি মৌলিক সংখ্যা। অর্থাৎ- ৫৩+২=৫৫ (১১*৫=৫৫ জন্য হবেনা), ৫৫+২=৫৭ (১৯*৩=৫৭ জন্য হবেনা), ৫৭+২=৫৯ ৫৩, ৫৯ মৌলিক সংখ্যা। | ২ টি | ১০ টি | |
৬১ থেকে ৭০ পর্যন্ত | ৬১, ৬৭ | ৫১ থেকে ৬০ পর্যন্ত মৌলিক সংখ্যা ২ টি। আবার ৫১ থেকে ৬০ এর মাঝে ৫৯ সর্বশেষ মৌলিক সংখ্যা। ২ টি সংখ্যা কে ৫৯ দিয়ে যোগ করলে পাওয়া যায় ৬১। ৬১ থেকে ৭০ এর মাঝে প্রথম মৌলিক সংখ্যাও ৬১। ৬১ থেকে ৬৭ এর দূরত্ব ৬। কেননা ৬১ এর সাথে ২ যোগ করলে হয় ৬৩। ৬৩ কে আবার ২১ এর সাথে ৩ গুণ করে পাওয়া যায়। মানে ৬৩ কে ২১x৩ দিয়ে ভাঙ্গা যায়। তাই এটি মৌলিক সংখ্যা নয়। আবার ৬৩ কে ২ দিয়ে যোগ করলে পাওয়া যায় ৬৫। ৬৫ কেও আবার ১৩ এবং ৫ দিয়ে ভাঙ্গা যায়। তাই ৬৫ ও হবেনা। ৬৫ কে দুই দিয়ে যোগ করলে পাওয়া যায় ৬৭। ৬৭ কে কোনো সংখ্যা দিয়ে ভাঙ্গা যায়না জন্য ৬৭ মৌলিক সংখ্যা। অর্থাৎ- ৬১+২=৬৩ (২১*৩=৬৩ জন্য হবেনা), ৬৩+২=৬৫ (১৩*৫=৬৫ জন্য হবেনা), ৬৫+২=৬৭। ৬৯ কে ২৩ এবং ৩ দিয়ে ভাঙ্গা যায়। তাই ৬৯ মৌলিক সংখ্যা নয়। ৬১, ৬৭ মৌলিক সংখ্যা। | ২ টি | ||
৭১ থেকে ৮০ পর্যন্ত | ৭১, ৭৩, ৭৯ | এখানে আগেরটির সাথে ২ যোগ হবেনা। ৭১ থেকে ৮০ এর মাঝে ৭১ একটি বিভাজ্য সংখ্যা। যা ভাঙ্গা যায় না। ৭১ এর সাথে দুই যোগ করলে হয় ৭৩। যেটিও একটি বিভাজ্য সংখ্যা। ৭৩ এর সাথে দুই যোগ করলে হয় ৭৫। যা ভাঙ্গা যায়। তাই এটি মৌলিক সংখ্যা নয়। ৭৫ এর সাথে দুই যোগ করলে হয় ৭৯। ৭৯ কে ভাঙ্গা যায়না। অর্থাৎ- ৭১+২=৭৩, ৭৩+২=৭৫ (১৫*৫=৭৫ জন্য হবেনা), ৭৫+২=৭৯। ৭১, ৭৩, ৭৯ মৌলিক সংখ্যা। | ৩ টি | ||
৮১ থেকে ৯০ পর্যন্ত | ৮৩, ৮৯ | এখানেও আগেরটির সাথে ২ যোগ হবেনা। ৮১ থেকে ৯০ এর মাঝে ৮১ সংখ্যাটি বিজোড় হলেও ভাঙ্গা যায়। তাই ৮১ মৌলিক সংখ্যা নয়। কিন্তু ৮১ এর সাথে দুই যোগ করলে হয় ৮৩। যা একটি বিভাজ্য সংখ্যা। তাই এটি মৌলিক সংখ্যা। ৮৩ এর সাথে দুই যোগ করলে ৮৫ হয়। যা ভাঙ্গা যায় ১৭ এবং ৫ দিয়ে। তাই এটিও মৌলিক সংখ্যা নয়। ৮৫ এর সাথে দুই যোগ হলে হয় ৮৭। এটিও একটি বিভাজ্য সংখ্যা। কেননা ৮৭ কে ২৯ এবং ৩ দিয়ে ভাঙ্গা যায়। ৮৭ কে আবার দুই দিয়ে যোগ করলে ৮৯ পাওয়া যায়। যা ভাঙ্গা যায় না। অর্থাৎ- ৮১+২=৮৩, ৮৩+২=৮৫ (১৭*৫=৮৫ জন্য হবেনা), ৮৫+২=৮৭ (২৯*৩=৮৭ জন্য হবেনা), ৮৭+২=৮৯। ৮৩, ৮৯ মৌলিক সংখ্যা। | ২ টি | ||
৯১ থেকে ১০০ পর্যন্ত | ৯৭ | এখানেও আগেরটির সাথে ২ যোগ হবেনা। ৯১ থেকে ১০০ এর মাঝে বিজোড় সংখ্যা ৯১, ৯৩, ৯৫, ৯৭ এবং ৯৯। কিন্তু এখানে লক্ষ্য করলে দেখা যায় ৯১ কে ১৩ এবং ৭ দিয়ে ভাঙ্গা যায়, ৯৩ কে ৩১ এবং ৩ দিয়ে ভাঙ্গা যায়, ৯৫ কে ১৯ এবং ৫ দিয়ে ভাঙ্গা যায় এবং ৯৯ কে ১১ এবং ৯ দিয়ে ভাঙ্গা যায়। শুধু ৯৭ কেই কোনো সংখ্যা দ্বারা ভাঙ্গা যায়না। তাই ৯৭ একটি মৌলিক সংখ্যা। অর্থাৎ- ৯১+২=৯৩ (৩১*৩=৯৩ জন্য হবেনা), ৯৩+২=৯৫ (১৯*৫=৯৫ জন্য হবেনা), ৯৫+২=৯৭, ৯৭+২=৯৯ (১১*৯=৯৯ জন্য হবেনা) ৯৭ মৌলিক সংখ্যা। | ১ টি | ||
১ থেকে ১০০ এর মাঝে ২ বাদে সকল সংখ্যাই বিজোড় সংখ্যা। কিন্তু যেই সংখ্যার সাথে ৫ আছে। সেটি বিভাজ্য জন্য মৌলিক সংখ্যা নয়।