জ্যামিতি (Geometry)

জ্যামিতি (Geometry)

---

জ্যামিতি শব্দের ‘জ্যা’ এর অর্থ ‘ভূমি’ এবং ‘মিতি’ এর অর্থ ‘পরিমাপ’। অর্থাৎ, জ্যামিতি শব্দের অর্থ “ভূমির পরিমাপ”। এটি প্রকৃতপক্ষে স্থান বিষয়ক বিজ্ঞান। কিন্তু বর্তমানে জ্যামিতি শুধু ভূমি পরিমাপের জন্যই ব্যবহৃত হয় না বরং বহু জটিল গাণিতিক সমস্যা সমাধানে জ্যামিতিক জ্ঞান অপরিহার্য। খ্রিষ্টপূর্ব ৩০০ সালে ইউক্লিড তাঁর “The Elements” গ্রন্থে জ্যামিতির মূল তত্ত্বগুলো আলোচনা করেন।

---

বিন্দু রেখা ও কোণ (Points, Line and Angle)

বিন্দু (Points): যার দৈর্ঘ্য, প্রস্থ, উচ্চতা কিছুই নেই, শুধুমাত্র অবস্থান আছে তাকে বিন্দু বলে।

রেখা: একটি রেখার নির্দিষ্ট দৈঘ্য নেই। একটি রেখার প্রান্ত বিন্দু নেই।

রেখাংশ (Line Segment): রেখাংশের নির্দিষ্ট দৈর্ঘ্য আছে। রেখাংশের দুইটি প্রান্ত বিন্দু আছে।

রশ্মি (Ray): একটি রশ্মির নির্দিষ্ট দৈর্ঘ্য নেই। একটি রশ্মির মাত্র একটি প্রান্ত বিন্দু আছে।

---

বিভিন্ন ধরণের কোণ

কোণ (Angle): একই সমতলে দুইটি রশ্মি একটি বিন্দুতে মিলিত হলে তৈরি হওয়া রশ্মি দুইটিকে কোণের বাহু এবং তাদের সাধারণ বিন্দুকে শীর্ষবিন্দু বলে।

সমকোণ (Right Angle): 90° ডিগ্রি কোণকে সমকোণ বলে।

স্থুলকোণ (Obtuse Angle): 90° ডিগ্রি অপেক্ষা বড় এবং 180° ডিগ্রি অপেক্ষা ছোট কোণকে স্থুলকোণ বলে।

সূক্ষ্মকোণ (Acute Angle): 90° ডিগ্রি অপেক্ষা ছোট কোণকে সূক্ষ্মকোণ বলে।

সরল কোণ (Straight Angle): 180° ডিগ্রি কোণকে সরল কোণ বলে।

প্রবৃদ্ধ কোণ (Reflex Angle): 180° ডিগ্রি অপেক্ষা বড় এবং 360° ডিগ্রি অপেক্ষা ছোট কোণকে প্রবৃদ্ধ কোণ বলে।

---

প্রশ্নপর্ব:

১। সরল রেখার উপর লম্ব অংকন করলে কয়টি সমকোণ পাওয়া যায়?

উত্তর: ২ টি সমকোণ পাওয়া যায়।

২। এক সমকোণ কত ডিগ্রি?

উত্তর: 90° ডিগ্রি।

৩। যে কোণের পরিমাণ 90° তাকে কী বলে?

উত্তর: সমকোণ বলে।

৪। এক সমকোণ অপেক্ষা ছোট কোণকে কী বলে?

উত্তর: সূক্ষ্মকোণ।

৫। একটি কোণের মান 80° হলে একে কী বলে?

উত্তর: সুক্ষ্মকোণ বলে।

৬। 150° কোণটি হলো?

উত্তর: স্থুলকোণ। 90°<150°<180°

৭। সরল কোণের পরিমাণ কত?

উত্তর: 180° কোণকে সরল কোণ বলে।

৮। 180° থেকে বড় কিন্তু 360° থেকে ছোট কোণকে কি বলে?

উত্তর: প্রবৃদ্ধ কোণ বলে।

নোট: দুই সমকোণ বা (2 × 90°) = 180° থেকে বড় কিন্তু চার সমকোণ বা (4 × 90°) = 360° থেকে ছোট কোণকে প্রবৃদ্ধ কোণ বলে।

৯। 180°<A<360° হলে ∠A কোন প্রকারের কোণ?

উত্তর: প্রবৃদ্ধ কোণ।

নোট: A কোণটি দুই সমকোণ (180°) অপেক্ষা বড় কিন্তু চার সমকোণ (360°) অপেক্ষা ছোট। তাই ∠A হলো প্রবৃদ্ধ কোণ।

১০। 253° ডিগ্রি কোণকে কি বলে?

উত্তর: 253° ডিগ্রি কোণ দুই সমকোণ (180°) অপেক্ষা বড় কিন্তু চার সমকোণ (360°) অপেক্ষা ছোট। তাই 253° কোণ হলো প্রবৃদ্ধ কোণ।

১১। একটি কোণের পরিমাণ 181 ডিগ্রি একে কি বলে?

উত্তর: প্রবৃদ্ধ কোণ।

180°<181°<360°
সুতরাং 181° কোণটি একটি প্রবৃদ্ধ কোণ।

---

পূরক ও সম্পূরক কোণ

পূরক কোণ (Complementary Angle): দুটি কোণের সমষ্টি হলে তারা পরস্পরের পূরক কোণ।

সম্পূরক কোণ (Supplimentary Angle): দুটি কোণের সমষ্টি 180° ডিগ্রি হলে তারা পরস্পরের সম্পূরক কোণ।

 

দৃষ্টি আকর্ষণ:

---

প্রশ্নপর্ব:

১। দুইটি কোণের সমষ্টি এক সমকোণের সমান হলে তাদের একটিকে অপরটির কি কোণ বলে?

উত্তর: পূরক কোণ বলে।

২। চারটি পূরক কোণের সমষ্টি কত?

উত্তর: 90 ডিগ্রি।

নোট: দুটি কোণের সমষ্টি 90° হলে তাদের একটিকে অন্যটির পূরক কোণ বলে। অর্থাৎ দুটি পূরক কোণের সমোষ্টি এক সমকোণ বা 90°।

৩। 0° কোনের পূরক কোণের মান কত?

৪। 90° ডিগ্রি কোণের পূরক কোণের মান কত?

৫। 60° ডিগ্রি পূরক কোণ কত?

৬। 35° কোণের পূরক কোণ কত?

৭। দুটি সন্নিহিত কোনের সমোষ্টি দুই সমকোণ হলে একটিকে অপরটির কী বলে?

উত্তর: দুটি কোনের সমষ্টি দুই সমকোণ (180° বা সরলকোণ) একটি কে অপরটির সম্পূরক কোণ বলে। কোণ দুটি পরস্পরের সন্নিহিত হলেও যদি তাদের সমষ্টি দুই সমকোণ হয় তবে তারা একটিকে অন্যটির সম্পূরক কোণ বলে।

৮। দুটি সম্পূরক কোণের সমষ্টি কত?

উত্তর: দুইটি কোণের সমষ্টি দুই সমকোণ বা 180° হলে তাদের একটিকে অপরটির সম্পূরক কোণ বলে।

৯। একটি কোণ 30° হলে এর সম্পূরক কোণ কত হবে?

১০। 78° সম্পূরক কোণ কত?

১১। 120° কোণের সম্পূরক কোণ কত?

১২। 90° কোণের সম্পূরক কোণ কত?

১৩। (-28°) কোণের সম্পূরক কোণের অর্ধেক কত?

উত্তর: দুইটি কোণের সমোষ্টি 180° হলে একটিকে অপরটির সম্পূরক কোণ বলে।

১৪। একটি কোণ তাঁর পূরক কোণ অপেক্ষা 24 ডিগ্রি বেশি হলে কোণটির মান কত?

১৫। একটি কোণের মান তাঁর সম্পূরক কোণের মানের অর্ধেকের সমান। কোণটির মান কত?

১৬। একটি কোণের মান তার পূরক কোণের অর্ধেকের সমান। কোণটির মান কত?

১৭। একটি কোণ তার সম্পূরক কোণের তিনগুন হলে, কোণটির মান কত ?

১৮। একটি কোণ তার পূরক কোণের 4 গুণ হলে, কোণটির মান কত?

---

কোণের মান নির্ণয়

সন্নিহিত কোণ: যদি দুইটি কোণের একটি সাধারণ শীর্ষবিন্দু এবং একটি সাধারন বাহু থাকে তাহলে কোণ দুটিকে একটি অপরটির সন্নিহিত কোণ বলে।

চিত্রে, ∠BAC ও ∠CAD কোণদ্বয়ের শীর্ষবিন্দু A এবং সাধারণ বাহু AC

সুতরাং, ∠BAC ও ∠CAD সন্নিহিত কোণ।

 

বিপ্রতীপ কোণ: কোনো বাহুদ্বয়ের বিপরীত রশ্মি দুইটি যে কোণ তৈরি করে তা ঐ কোণের বিপ্রতীপ কোণ।

  দুইটি সরল রেখা পরস্পর ছেদ করলে উৎপন্ন বিপ্রতীপ কোণগুলো পরস্পর সমান।

 চিত্রে, ∠AOD = বিপ্রতীপ ∠COB এবং ∠AOC = বিপ্রতীপ ∠BOD

 

একান্তর কোণ: দুইটি সমান্তরাল সরল রেখাকে অপর একটি সরল রেখা তীর্যকভাবে ছেদ করলে ছেদক রেখার বিপরীত পার্শ্বে সমান্তরাল রেখা যে কোণ উৎপন্ন করে, তাকে একান্তর কোণ বলে। একান্তর কোণদ্বয় পরস্পর সমান হয়।

চিত্রে, AB ‖ CD এবং PS ছেদক। ∠AQR = একান্তর ∠DRQ

 

অনুরূপ কোণ: দুইটি সমান্তরাল সরলরেখাকে অপর একটি সরলরেখা তীর্যক ভাবে ছেদ করলে ছেদক রেখার একই দিকে সমান্তরাল রেখাদ্বয়ের অনুরূপ পার্শ্বে যে কোণ উৎপন্ন হয়, তাকে অনুরূপ কোণ বলে। অনুরূপ কোণদ্বয় পরস্পর সমান হয়।

চিত্রে, AB || CD এবং PS ছেদক। ∠PQB = অনুরূপ ∠DRQ

---

প্রশ্নপর্ব:

১। 37 ডিগ্রি কোনের বিপ্রতীপ কোনের পরিমাণ কত?

উত্তর: দুইটি সরলরেখা পরস্পর ছেদ করলে উৎপন্ন বিপ্রতীপ কোণগুলো পরস্পর সমান। বিপ্রতীপ কোণ 37 ডিগ্রি।

২। হলে x এর মান কত ?

৪।

∠x এর মান কত ?

উত্তর: যেহেতু, AB || CD এবং এদের ছেদক রেখাটি AB ও CD রেখার সহিত যথাক্রমে ∠x ও 32° অনুরূপ কোণ উৎপন্ন করেছে।

সুতরাং, ∠x = 32°

৫।

AB || CD হলে ∠EFD সমান কত ডিগ্রি ?

উত্তর:

∠PEA + ∠AEF = 180°

⇒ ∠PEA + 50° = 180°

⇒ ∠PEA = 180° – 50° [∵ ∠AEF = 50°]

∴ ∠PEA = 130°

৬। AB ও CD সরলরেখা O বিন্দুতে ছেদ করেল গাণিতিক বাক্যটি কি সঠিক?

৭। একটি সমকোণী ত্রিভুজের সূক্ষ্মকোণদ্বয়ের পার্থক্য 6° হলে ক্ষুদ্রতম কোণটির মান কত?